Soucis sur la modélisation de la rentrée sur Terre d'un véhicule spatial

Voici Bob. Bob est pilote et comme tout pilote, Bob aime voler. Actuellement, Bob navigue à 7.7 km/s à 270  km d'altitude autour
de la terre et Bob aimerais bien rentrer avant dîner.

Cette petite introduction étant faîte, nous pouvons passer dans le vif du sujet. Vous l'aurez compris, nous allons parler un peu de
rentrée atmosphérique.



Commençons par une courte explication dans une premier temps:

Dans le cadre d'un projet scolaire, je me suis mis dans l'idée de m'attaquer au problème de la modélisation (qui sera suivi d'une simulation) d'une tel action.
Mon but ici est de trouver un système d'équations différentielles permettant de connaître les différents paramètres qui
repèrent le vaisseau dans l'espace, c'est à dire : Vitesse (v), Altitude (h), Distance de vol autour de la terre (r), Angle de trajectoire (gamma).

(précisions:
          gamma est l'angle entre la direction de la vitesse et l'orthognale au rayon terre-vaisseau
          r est la distance que qu'aurait parcouru le vaisseau au sol à la même vitesse angulaire par rapport au centre de la terre que sur sa trajectoire de vol)

La résolution d'un tel problème est, sous certaines hypothèses, simple. En fait, tellement simple, que toutes les sources
auxquels je me réfère présentent leurs équations sans explications...
Donc essayer de les trouver (enfin plus exactement de les retrouver) relève autant du puzzle que de l'exercice de mécanique.
Pour trois d'entre elles (celles décrivant les trois premiers paramètres : vitesse, altitude et distance), les évidences sont
assez évidentes (évidemment) pour les retrouver sans effort. Cependant pour la quatrième (autour de ce fameux angle gamma), je suis en blocage
depuis plusieurs mois... C'est donc là que je viens requérir votre aide.

Si vous avez eu le courage de me lire jusqu'ici, et que vous vous sentez prêt, je vous invite à me suivre pour l'explication longue
(*musique dramatique*).



Et maintenant, la version longue (contient: divers considération de base en mécanique du point, schémas, calculs, traces éventuels de mécanique en référentiel non galiléen):

Nous allons nous placer dans un référentiel géocentrique, que l'on suppose galiléen. On munit le tout d'une terre de rayon Rt, de masse Mt et 
d'un vaisseau spatiale assimilé à un point M de masse m. On suppose d'ore et déjà que le mouvement est plan (RIP les rentrées en zigzag 
des navettes américaines). Le tout donne ceci :

Le vaisseau est repéré en coordonnées polaires par l'angle têta et son altitude h (ou son rayon Re+h). On repère également la direction de
son vecteur vitesse par l'angle gamma (le fameux qui me rend fou)
On se propose d'étudier le problème en mécanique du point. Notre vaisseau et soumis aux forces de Poids (P), de Portance (L), de Traînée (D), et c'est 
tout.
A l'état initiale, notre vaisseau est en phase de rentrer dans l'atmosphère de notre cher planète... ou pas, enfin bref on connaît
sa position et l'inclinaison initiale de son vecteur vitesse (ainsi bien entendu ses caractéristiques propre comme sa masse, sa surface
caractéristique si sa portance est non nulle...)

Place à la mise en équation :

-Pour trouver la première, on commence par un simple Principe Fondamental de la Dynamique (PFD) dans le référentiel géocentrique et que l'on projette sur la direction de la vitesse
(il semblerait que ce soit plus pratique). Ce qui donne:

(Petite précision: on ne s'intéresse pas ici au contrôle de l'engin, celui-ci va rentrer "naturellement" dans l'atmosphère, et génère bien sa portance sur une direction toujours orthogonale à celle de la vitesse
(et rien n'empêche de considérer un appareil à portance nulle d'ailleurs). Pensez à une simple capsule plutôt qu'une navette)
Et hop, voilà pour la Vitesse.

-La deuxième, encore plus simple, se déduit de la simple considération que l'altitude varie de par la projection adéquate de la vitesse sur 
l'axe du rayon:

Et pouf pour l'Altitude.

-La troisième, se trouve aussi simplement par une réflexion du même tonneau sur des vitesses de rotation:
(On remarque juste que la vitesse tangentiel du mobile est assimilable à la vitesse tout d'un engin en mouvement circulaire à même altitude)

Et Hopla pour la Distance de vol.

-Enfin, le point épineux, l'apogée de tout ce pavé que vous lisez, l'angle GAMMA:
Alors ici, je n'ai pas de début de raisonnement à présenter. En fait si, mais en partant de la fin. D'après les sources auxquels je me réfère,
je connais la forme de l'équation que je recherche :

Et voilà plusieurs commmentaires intéressants:
-Tout les termes sont homogènes à des forces.
-Les deux termes du milieux forment la projection du PFD sur la direction orthogonale à la vitesse. En effet, souvenez-vous:


Reste alors les deux autres termes, de formes semblables et faisant appel au deux vitesses angulaires de notre problème.
Mes pistes sont alors:
        -Ces deux derniers termes seraient en fait les même et s'annuleraient (la fameuse technique du +1/-1), ce dont je doute fortement, et                     m'amènerait à me poser des questions sur l'intérêt de tout ceci.
        -Mon application du PFD serait imprécise/incomplète (On m'as évoqué une perte d'information du à la projection sur la direction du vecteur
         vitesse...)
        -Il aurait été utilisé une formule/un théorème auquel je n'ai pas songé (comme des moments ou de l'énergie, mais j'en doute aussi)
        -Une histoire rajoutant une peu de non-galiléen à la recette (j'ai pensé récemment à ré-appliquer un PFD non galiléen sur un référentiel relatif
         prenant le vaisseau pour origine et les même axes que notre référentiel géocentrique absolue, car alors l'accélération relative dépend
         beaucoup de la rotation sur lui-même d'angle gamma, et l'accélération d'entraînement ferait appel à l'angle de repérage têta... ce qui fait envie, mais pour             l'instant, aucune de mes recherches dans ce sens n'a conclu).

Maintenant que vous en savez plus sur l'histoire, je pose ma question: Qu'en pensez-vous ? Auriez-vous des éléments qui permettraient de boucler le problème ?
(Je suis toujours à la recherche de la quatrième équation sur gamma)
Je précise par ailleurs, ce travail s'inscrivant dans une projet sur lequel je serais évalué, que je ne recherche en aucun cas une réponse toue faite, complète et
détaillé, par contre je suis preneur de toute explication, indice, piste, voir même réorientation vers une source, un document, n'importe quoi
susceptible de me débloquer dans mes travaux.

Enfin, pour conclure (du moins, pour l'instant), je vous remercie infiniment de m'avoir lu jusqu'au bout .

Merci à vous  :cheers:.

Un bouquin en anglais qui devrait t'aider :

https://www.google.fr/url?sa=t&source=web&rct=j&url=https://www.amazon.fr/Dynamics-Atmospheric-Re-Entry-Frank-Regan/dp/1563470489&ved=0ahUKEwiz3qPwxtvZAhXBIJoKHbaQBokQFghaMAg&usg=AOvVaw0jK8Up7i0O3dmOFPxZ3Zgg

Tu peux trouver des pages gratuites sur google.
Là j'abdique j'ai pas le niveau  :trouille: j'ai décroché au début de ta version longue mais j'ai quand même tout lu :D

Il me semble que cette équation se déduit des moments cinétiques.
Voir:http://www.formules-physique.com/categorie/715
Un indice,c’est que d gamma/dt représente la vitesse angulaire propre du vaisseau.
En se plaçant dans ce référentiel non galiléen, il faut faire intervenir la force corrective d’inertie centrifuge

Pour les besoins d'un petit simulateur perso, connaissant la position et le vecteur vitesse initiaux d'un corps inerte, je voulais connaître les autres forces en présence :

• Poids : déterminé par la gravité, les masses du corps céleste et de l'objet considéré, et de la position de l'un relative à l'autre.
  
• Freinage atmosphérique : de sens opposé à la vitesse, et fonction de la densité de l'atmosphère à l'altitude considérée, du Cx du corps (qui lui-même dépend de son attitude - attention je n'ai pas dit altitude) et de la surface que le corps présente perpendiculairement au vecteur vitesse.
  

Je te cite :

Battlesheep a écrit:enfin bref on connaît sa position et l'inclinaison initiale de son vecteur vitesse

Si tu as dans tes paramètres de départ l'orientation de ton vecteur vitesse (par rapport à quoi ?), c'est une simple addition ou soustraction d'angles qui va te permettre de trouver gamma. Admettons que tu connais alpha, l'angle entre le vecteur vitesse et ton axe des abscisses, alors :


Bon, il faut adapter un peu les signes et les ajouts de 90° ou non, en fonction du sens de tes angles et de leur axe de référence, mais tu vois le genre.

Ou alors je n'ai rien compris à ton problème, c'est tout à fait possible :D

Un grand merci pour toutes ces réponses ! Voilà qui vas bien m'aider !  :)

aRes : Merci pour le lien du livre, je penserais à voir si je peut en tirer des infos (C'est qu'on en a jamais assez ^^)

Giwa : Merci beaucoup pour le tuyaux, je vais me replonger dès que possible dans les moments avec l'inertie cette fois pour voir ce que ça donne.

Thierz : Oui, je vois ce que tu veux dire (enfin je pense), mais j'ai bien peur que cela ne fasse que déplacer le problème.
Pour l'histoire des conditions initiales, il n'y a pas vraiment d'importance à y accorder dans le cadre de la mise en équation (j'aurais peut être du occulter ces mentions) (cela amenait juste à mon sens de manière implicite que cette mise en équation vas amener à la résolution d'un problème de Cauchy pour le système obtenu).
Le coeur du problème réside dans le fait que gamma dépend du temps. On connait en fait gamma(0) (au sens d'une fonction). Ducoup, même avec une condition initiale, il nous faut une loi (la fameuse 4eme équation) pour prévoir l'évolution  du gamma. Ainsi, l'exprimer par cette différence d'angle amène certes des paramètres connus:
-la constante 90°
-têta dont on a une équation décrivant son évolution.
Cependant, alpha n'est pas un paramètre connu. De ce que j'en vois, alpha est fonction du temps au même titre que gamma, et dont les évolutions sont fortement lié. Les deux angles reliant le vecteur vitesse à un axe "fixé": l'horizontale pour gamma et l'axe du référentiel géocentrique pour alpha. Ca m'a l'air d'une opération qui permet en gros de changer de référence pour l'angle de repérage du vecteur vitesse.
(j'espère que ma réponse n'est pas trop brouillonne).
Par contre, j'ai jamais eu l'idée de replacer têta comme ça en haut, c'est peut être bête mais ça pourrais servir pourquoi pas.
Enfin bref, merci beaucoup aussi.

Ne te focalises pas sur gamma, ce que tu cherches c'est plus globalement l'évolution du vecteur vitesse, et gamma n'est qu'un des deux paramètres de ce vecteur (la direction, en complément de l'intensité). L'évolution de ton vecteur vitesse est directement calculable par le changement de position du corps entre deux instants t0 et t1, donc elle est là ton équation :

Vecteur vitesse

Et en effet c'est fonction du temps, c'est la dérivée de la position dans le temps. La position elle-même change dans le temps en appliquant sur le corps toutes les forces en présence pendant un temps donné.

A défaut de gamma, voila du béta  :megalol: (ok, c'est le meme angle.)

Simu retour apollo 11
http://mecaspa.cannes-aero-patrimoine.net/PROJETS/ATMOSPHE/RET_lune.htm
simu retour shuttle
http://mecaspa.cannes-aero-patrimoine.net/PROJETS/ATMOSPHE/RET_BAS.htm
Simu rentrée sur mars
http://mecaspa.cannes-aero-patrimoine.net/PROJETS/ATMOSPHE/Marschap.htm

les réponses sont, si je me souviens bien, ailleurs sur le site.

Merci pour vos réponses !

Thierz : Je suis tout à fait d'accord, cet angle n'est qu'un élément de paramétrage du vecteur vitesse. Pour l'information "vitesse" en générale, j'ai bien déjà son équation sur son intensité. Le souci, c'est que cet angle intervient à bien d'autre endroits dès le moment ou je projette des forces (par exemple quand je projette la vitesse sur l'axe radiale pour en tirer une info sur l'évolution de l'altitude), et j'ai donc besoin d'en déterminer l'évolution. J'ai là du mal à voir comment m'en passer (mais il est certainement possible que je rate un truc...).

Cosmiste : Merci pour ce site, je suis surpris de ne pas l'avoir trouvé plus tôt au long de mes recherche... En tout cas, il y a plein d'infos intéressante, même si j'ai pas encore trouvé des détails de calculs pour les équations de rentrée planes (mais je cherche encore), en tout cas merci.