Orbite de transfert : solution analytique

Hello,

Vous savez peut-être que si on souhaite intercepter un objet sur une orbite finale, à partir d'une orbite initiale (cas des astronautes rejoignant l'ISS), il n'existe qu'une seule solution analytique connue : le transfert de Hohmann. Hélas celui-ci requiert une configuration de la cible et de l'intercepteur très particulière et rare. Dans la majorité des cas, ainsi que pour les voyages interplanétaires, on utile plutôt d'autres méthodes, toutes basées sur des d'approximation et de corrections successives.

J'ai cependant trouvé une solution au problème. Je sais calculer, de façon analytique, la trajectoire de transfert synchrone de moindre énergie dans toutes les configurations intercepteur/cible. Le simulateur que je propose le démontre : Simulateur de transfert synchrone.
Il suffit d'analyser la trajectoire proposée pour constater qu'elle respecte bien les lois de Kepler tout en assurant une concordance des temps entre l'intercepteur et la cible.

Les applications potentielles sont considérables. Par exemple il ne faudrait que 1 à 3h pour atteindre l'ISS, ou un météore fonçant sur la Terre, ou le satellite d'un ennemi, etc.

Qu'en dites-vous ?

A vous lire,
Cordialement

Pour info, si on ne rejoint pas l'ISS en 2h au lieu de 2 jours, ça n'est pas parce qu'on ne connait pas la trajectoire qu'il faudrait adopter (quand même...), c'est pour des raisons de sureté.

Après, c'est un problème standard: si tu connais les position/vitesse initiale de ta source et de ta cible, et considérant des poussée impulsionnelles, la solution pour trouver les 2 forces à appliquer (au départ et à l'arrivée) est trouvable.
A moins que je n'ai pas compris ce que tu voulais faire, ce problème-là est un exercice standard d'étudiant en première année d'université/prépa...

La solution n'est pas unique pour rejoindre une orbite en moins d'une révolution, tout dépend du delta-V que tu es prêt à consommer. Et la solution de moindre énergie est trouvable.

Space Opera a écrit:Pour info, si on ne rejoint pas l'ISS en 2h au lieu de 2 jours, ça n'est pas parce qu'on ne connait pas la trajectoire qu'il faudrait adopter (quand même...), c'est pour des raisons de sureté.

D'une part tout le monde n'est pas de ton avis en ce qui concerne la sécurité. J'en veux pour preuve ce que disait le cosmonaute russe Pavel Vigradov (voir ici). Laisser 3 gars dans une capsule, dans leurs scaphandre, pendant 3 à 4 jours, à orbiter autour de la Terre, je ne trouve pas cela très sécurisant. Etre à l'abri de la Station le plus vite possible, voilà ce qu'est la sécurité.

D'autre part les méthodes de calcul auxquelles tu fais allusion sont expliquées brièvement ici. Elles contredisent ton avis sur une solution analytique au problème. Il n'existe que des méthodes d'approximations successives coûteuses en temps de calcul.

En même temps, ce n'est pas mon avis mais les raisons invoquées par les agences pour agir ainsi. Pour le reste, tu sais qu'il existe des intercepteurs capables d'aller taper un satellite avec une précision meilleure que la taille du satellite, donc trouver une "bonne" trajectoire n'est pas nouveau.

Dans ton article, évidemment que résoudre un problème dans la vraie vie n'est pas facile, mais justement parce que... dans la vraie vie, les lois de Kepler ne marchent pas ! Le simple fait d'ajouter un terme en J2 dans les équations de Newton rend les solutions analytiques horriblement complexes, sans compter que dans la vraie vie les phases de propulsion ne sont pas impulsionnelles. Si on utilise un contrôle optimal, qui est une science en soi, c'est bien parce que notre bonne vieille Terre n'est pas une simple sphère parfaite, parce qu'on ne sait pas exactement où est le vaisseau (erreur de navigation), parce qu'on ne maitrise pas parfaitement la poussée qu'on effectue, etc...

Dans le cas simplifié que tu présentes, avec une propulsion instantanée et avec une source de gravité ponctuelle, et en utilisant uniquement les équations de Kepler, alors là oui des solutions plus simples existent.

hclatomic a écrit:... il n'existe qu'une seule solution analytique connue : le transfert de Hohmann.

J'ai cependant trouvé une solution au problème. Je sais calculer, de façon analytique, la trajectoire de transfert synchrone de moindre énergie dans toutes les configurations intercepteur/cible. Le simulateur que je propose le démontre : Simulateur de transfert synchrone.
...

Si je comprends bien il s'agit d'une seule solution, mais pour une trajectoire synchrone de moindre énergie

Sinon en gaspillant plus de propergols, il existe une infinité de solutions.

N'étant pas du tout compétent, je ne peux que suivre ce débat fort intéressant

A Space Opera : Pourrais-tu nous fournir une référence bibliographique qui justifierait ton avis ?
Car pour l'instant je ne lis que des paroles et des certitudes, rien de très probant. Surtout au regard des articles que je cite et du simulateur que je propose, qui eux sont un peu plus concrets.
D'avance merci.

A Giwa : il existe une infinité de soltions, mais une seule synchrone qui permet un rendez-vous. C'est cette trajectoire qui est difficile à déterminer analytiquement.

hclatomic a écrit:A Giwa : il existe une infinité de soltions, mais une seule synchrone qui permet un rendez-vous. C'est cette trajectoire qui est difficile à déterminer analytiquement.

Rectification: il existe une infinité de solutions pour intercepter une cible, mais une seule avec énergie minimale.
Pour ce qui est de résoudre et d'écrire ça au format html, j'essaierai de faire ça quand j'en aurai le temps. Mais c'est un problème traité couramment dans les bouquins sur la mécanique orbitale, en attendant peut-être trouveras-tu satisfaction dans l'un d'entre eux ?

Giwa a écrit:...Si je comprends bien il s'agit d'une seule solution, mais pour une trajectoire synchrone de moindre énergie
...

Space Opera a écrit:
hclatomic a écrit:A Giwa : il existe une infinité de soltions, mais une seule synchrone qui permet un rendez-vous. C'est cette trajectoire qui est difficile à déterminer analytiquement.
Rectification: il existe une infinité de solutions pour intercepter une cible, mais une seule avec énergie minimale.

Effectivement c'est bien ce que je voulais dire : moindre énergie = énergie minimale

Space Opera a écrit: Mais c'est un problème traité couramment dans les bouquins sur la mécanique orbitale, en attendant peut-être trouveras-tu satisfaction dans l'un d'entre eux ?

Ben justement, j'en ai lu pas mal et aucun qui soit de ton avis : 1, 2, 3, [url=http://groupesmaths.ac-creteil.fr/spip/IMG/file/UE2012/Conference2_JP_ BERTHIAS.pdf]4[/url], 5, ...

Il n'existe qu'un transfert analytique connu, celui de Hohmann, qui impose la fameuse "fenêtre de lancement".

Effectivement, mais ce problème se résout proprement tant qu'il n'a pas trop de degrés de liberté. Par exemple, si l'on n'impose pas l'anomalie vraie de la cible ou l'instant de départ, ça devient plus complexe.
Mais ce problème a l'avantage de pouvoir se poser de façon géométrique et non physique (Kepler et non Newton), ce qui simplifie pas mal les notations et évite un certain nombre de non-linéarités.

Un document que j'ai vu récemment qui discutait de pas mal d'options pour résoudre tout ça, dans un cadre plus général: http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/54/62/93/PDF/these_Mounir_kara_zaitri.pdf

On y retrouve tous les outils de base pour ce genre de résolution (dont celles décrites ici: http://www.control.aau.dk/~jakob/phdStudents/finnAnkersenThesis.pdf ), dont les formes classiques des matrices de transition qui permettent de résoudre les problèmes simples et bien conditionnés.

Est-ce que l'Algèbre Géométrique est couramment utilisé en mécanique orbitale ou bien, comme en robotique, c'est un outil nouveau qui n'est pas encore très répandu ?
Je découvre ça depuis quelques semaines et y a plein de choses qui se clarifient et s'unifie (quaternions, torseurs, matrice de Pauli, etc...) !

La forme particulière des équations de la gravité incite à utiliser des procédés assez spécifiques. Je parlais des matrices de transition, aujourd'hui c'est en général la base de tout calcul de transfert d'orbite. Notamment, les méthodes de Yamanaka & Ankersen sont très utilisées pour résoudre les problèmes de transfert avec minimisation sous contrainte.

Ok, de ce que j'ai vu en survolant la thèse d'Ankersen, il utilise vecteurs, matrices et quaternions, comme nous, roboticiens, à l'heure actuelle en robotique.
On peut donc espérer de beaux progrès dans le domaine de la mécanique orbitale dans les années à venir, lorsque l'utilisation de l'algèbre géométrique se sera répandue !

Space Opera a écrit:Effectivement, mais ce problème se résout proprement tant qu'il n'a pas trop de degrés de liberté. Par exemple, si l'on n'impose pas l'anomalie vraie de la cible ou l'instant de départ, ça devient plus complexe
[...]
On y retrouve tous les outils de base pour ce genre de résolution (dont celles décrites ici: http://www.control.aau.dk/~jakob/phdStudents/finnAnkersenThesis.pdf ), dont les formes classiques des matrices de transition qui permettent de résoudre les problèmes simples et bien conditionnés.

Exactement. Et le transfert de Hohman n'est possible que si la configuration de l'intercepteur/cible est unique. C'est en effet la seule solution analytique connue. L'intercepteur doit alors se placer sur une orbite d'attente jusqu'à ce que la configuration de Hohman soit acquise.
Mon travail en revanche revient à s'affranchir de cette fenêtre unique. On peut lancer l'orbite de transfert sans attendre ni LA configuration spéciale de Hohman, ni la périgée de l'orbite, ni aucune configuration particulière.
A part mon simulateur il n'existe actuellement aucune méthode analytique permettant ce type de transfert, hors conditions de Hohman.

Skyboy a écrit:Est-ce que l'Algèbre Géométrique est couramment utilisé en mécanique orbitale ou bien, comme en robotique, c'est un outil nouveau qui n'est pas encore très répandu ?
Je découvre ça depuis quelques semaines et y a plein de choses qui se clarifient et s'unifie (quaternions, torseurs, matrice de Pauli, etc...) !

Aussi étrange que cela paraisse les mathématiques que j'utilise sont élémentaires : produit vectoriels, produits scalaires, addition et soustraction de vecteurs. Je n'utilise même pas de dérivées secondes.
Pour ce que font les autres, je ne saurais te dire.

Skyboy a écrit:Ok, de ce que j'ai vu en survolant la thèse d'Ankersen, il utilise vecteurs, matrices et quaternions, comme nous, roboticiens, à l'heure actuelle en robotique.
On peut donc espérer de beaux progrès dans le domaine de la mécanique orbitale dans les années à venir, lorsque l'utilisation de l'algèbre géométrique se sera répandue !

Ce terme d'algèbre géométrique est très beau.
Je l'entends cependant pour la première fois car je suis un ignare en maths. Je suis docteur en chimie à la base, informaticien aujourd'hui, et donc relativement loin des maths "trop" complexes.
Je devine cependant que tu évoques des représentations géométriques telles que les tenseurs de la relativité générale, par exemple. Si c'est le cas je dirais que le fondement de ma méthode est bien géométrique, profondément géométrique. En revanche je n'ai pas besoin d'utiliser de tels concepts. La géométrie que j'utilise est élémentaire.

hclatomic a écrit:Mon travail en revanche revient à s'affranchir de cette fenêtre unique. On peut lancer l'orbite de transfert sans attendre ni LA configuration spéciale de Hohman, ni la périgée de l'orbite, ni aucune configuration particulière.
A part mon simulateur il n'existe actuellement aucune méthode analytique permettant ce type de transfert, hors conditions de Hohman.

Prends le temps de lire, même rapidement, les deux documents que j'ai mis en copie: il s'agit bien de cas quelconques, et ces cas sont encore plus généraux que les tiens (pas besoin d'être dans le même plan, etc). Avec ces méthodes basées sur les matrices de transition, personne ne s'intéresse à Hohman en particulier, ces méthodes sont faites pour les cas généraux. Pas besoin d'être au périgée ou autres, il suffit de donner l'orbite de la cible et l'instant de départ du chasseur associé à son vecteur d'état. Les documents que je t'ai mis en lien donnent les solutions uniques permettant de résoudre les transferts quelconques que tu désires en minimisant ce que tu veux: consommation de carburant/delta-V (le cas qui nous intéresse ici), mais aussi le nombre de manoeuvre à réaliser (dans notre cas, le nombre minimum soit deux), les contraintes d'attitude, etc.

Autrement dit, ces documents répondent de manière claire et précise au cas du transfert d'orbite dans le cas général, et pas dans un cas particulier tel que Hohman ou autre. C'est en ça que je dis que tes travaux ne sont pas "nouveaux". C'est un problème courant de mécanique céleste, qui a déjà des solutions et des méthodes de calcul bien au-delà d'Hohman, et qui permettent de résoudre des cas plus complexes et généraux que ceux que tu considères. C'est d'ailleurs ces méthodes qu'on trouve dans tous les solver qu'il y a dans les logiciels grands-publics, tels que Orbiter ou KSP.

C'est hors du cas dont on discute ici, mais pour info pour les missions réelles (avec N corps, du frottement etc.), ces méthodes servent de base analytique pour mettre en place des lois de controle robuste. Mais je le répète, dans le cas du problème simple dont on discute, ces méthodes donnent des solutions uniques pour les cas généraux et quelconques (y compris pour les trajectoire hyperboliques).

J'ai parcouru tes références.

Merci pour ça. Nous oublions trop souvent que ces docteurs sont le bastion avancé de notre recherche, si chère payée. Il faut effectivement les lire et je te remercie de nous en donner l'opportunité, qui plus est dans le contexte. Oui, nous payons déjà tous très cher pour l'étude de ce problème. Néanmoins, ce sont en fait des scientifiques confrontés au problème que j'ai résolu, mais qui eux ne l'ont pas résolu, malgré leur thèse. Leurs conclusions sont très claires sur ce point. Alors ils en font des thèses pour avancer dans cette résolution. Rien dans leur travail ne postule que le problème a été résolu, qu'il serait analytique et bien connu, comme tu le prétends. Rien. A tel point qu'ils en font une thèse.

Space Ocean, j'ai l'impression qu'il y a un quiproquo entre nous. Nous semblons être d'accord mais en même temps pas d'accord. Je prends le défaut de mon côté. Je suis un physicien cohérent mais un piètre communicateur. Ce que disent tes références te touchent, mais mes propos, et surtout mon simulateur, te laissent d'humeur critique. En revanche je vois dans tes références la parfaite illustration du problème que je résous, mais tu ne m'entends pas.
Comment résoudre cela ?
Je propose : objet A en x,y,t0, objet B en x,y,t0 avec la vitesse v au temps t0, autour d'un corps de masse M. Le corps A doit rejoindre le corps B. Quelle est leur trajectoire de rendez-vous ?

Puisque tu nous a expliqué que la résolution de cette équation est triviale, tu n'auras aucun problème à soutenir le challenge.
De mon côté je te donnerai le résultat dès que nous aurons fixé les conditions initiales.

Qu'en dis-tu ?

hclatomic a écrit:
Skyboy a écrit:Ok, de ce que j'ai vu en survolant la thèse d'Ankersen, il utilise vecteurs, matrices et quaternions, comme nous, roboticiens, à l'heure actuelle en robotique.
On peut donc espérer de beaux progrès dans le domaine de la mécanique orbitale dans les années à venir, lorsque l'utilisation de l'algèbre géométrique se sera répandue !
Ce terme d'algèbre géométrique est très beau.
Je l'entends cependant pour la première fois car je suis un ignare en maths. Je suis docteur en chimie à la base, informaticien aujourd'hui, et donc relativement loin des maths "trop" complexes.
Je devine cependant que tu évoques des représentations géométriques telles que les tenseurs de la relativité générale, par exemple. Si c'est le cas je dirais que le fondement de ma méthode est bien géométrique, profondément géométrique. En revanche je n'ai pas besoin d'utiliser de tels concepts. La géométrie que j'utilise est élémentaire.

Produit scalaire et produit vectoriel, on utilise les deux à quelques nuances près en algèbre géométrique, puisque cet algèbre est défini par un produit dit "géométrique" qui s'écrit : ab = a.b + a^b.
La grosse différence est qu'on autorise l'addition de vecteurs et de scalaires, ainsi que d'autres entités qu'on appelle des k-vecteurs. Tout ceci donne des équations très naturelles et autorise notamment à calculer l'inverse d'un vecteur [sans surprise, on a : inverse(v) = v/(|v|*|v|) ].

Si tu as appris l'algèbre vectoriel et l'algèbre linéaire, l'algèbre géométrique est plutôt plus simple. Malheureusement, on ne l'enseigne pas encore à l'école.

Sinon pour revenir sur le sujet de savoir si on a trouvé quelque chose de nouveau ou pas, la première chose à faire, c'est de se tenir au courant de ce que les autres ont fait. La recherche bibliographique permet bien souvent d'éviter de réinventer la roue.

hclatomic a écrit:Puisque tu nous a expliqué que la résolution de cette équation est triviale, tu n'auras aucun problème à soutenir le challenge.

La résolution du problème de Lambert se fait facilement avec des bases mathématiques niveau BAC+1. Tu trouveras sur internet (dont Wikipedia d'ailleurs) ou dans des livres des gens qui démontreront ça de façon plus pédagogique que moi sur un forum.

hclatomic a écrit:De mon côté je te donnerai le résultat dès que nous aurons fixé les conditions initiales.
Qu'en dis-tu ?

C'est toi qui vient nous présenter un résultat non ? Montre-le nous dans ce cas, ça nous intéresserait :) Sinon, quelles conditions initiales veux-tu fixer ?

Tu ne m'as pas bien lu :

objet A, xa,ya en t0, objet B, xb, yb en t0 avec la vitesse vb au temps t0, autour d'un corps de masse M.
Le corps A doit rejoindre le corps B.
Quelle est leur trajectoire de rendez-vous ?

Mon simulateur donne la réponse, toi tu parles.
Le problème est ici clairement posé, et démontré. Que proposes-tu pour faire au moins aussi bien, à part ta logorrhée ?

http://en.wikipedia.org/wiki/Lambert%27s_problem avec application numérique.

Un autre simulateur magique comme toi, en Matlab: http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/26348-robust-solver-for-lamberts-orbital-boundary-value-problem

hclatomic a écrit:Mon simulateur donne la réponse, toi tu parles.
(...) Que proposes-tu pour faire au moins aussi bien, à part ta logorrhée ?

Off topic désolé :

Bonjour, suis-je le seul ici à trouver que le ton devient tendu ?
Je ne suis pas modérateur mais je pense qu'on peut continuer à faire avancer le débat tout en évitant ce genre de provocation.

hclatomic a écrit:Mon simulateur donne la réponse, toi tu parles.
Le problème est ici clairement posé, et démontré. Que proposes-tu pour faire au moins aussi bien, à part ta logorrhée ?

Conformément au règlement du forum, merci de rester correct avec les intervenants du sujet.

Sam 19 Oct 2013 - 11:10

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